Le théorème de la jungle
"Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est uniquement parce qu’ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée." John von Neumann
Quand j'étais étudiant, je me considérais nul en math, et je ne voyais pas ce que cette discipline pouvait m'apporter dans la vie de tous les jours...
Il y en a beaucoup comme ça.
J'ai révisé mon jugement.
Les mathématiques consituent une langue qui permet de décrire le monde physique. Mal enseignée et incomprise, comment s'approprier ces notions ? Les idées que l'on peut comprendre par le monde des nombres sont vertigineuses. Qui ne s'est jamais amusé à essayer de penser les bords de l'Univers, de représenter l'infini, le nombre d'étoiles dans le ciel ? Inévitablement, ces exercices de pensée nous renvoient à nous-mêmes, à nos capacités, à nos représentations et à notre existence dans le monde. Les mathématiques, comme toute discipline, ne prennent de sens qu'au contact de ce que nous sommes et des autres connaissances que nous avons.
Voici deux exemples de systèmes mathématiques qui prouvent que les mathématiques s'appliquent à la compréhension de notre monde et des systèmes vivants :
Les équations différentielles
Voici une image représentant un modèle mathématique de comportement.
La figure a été dessinée suivant les équations de Lotka-Volterra :
"...Les équations de Lotka-Volterra, que l'on désigne aussi sous le terme de "modèle proie-prédateur", sont un couple d'équations différentielles [...], et sont couramment utilisées pour décrire la dynamique de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent." (source : wikipedia)
Mais lisez plutôt la suite :
"Elles ont été proposées indépendamment par Alfred J. Lotka en 1925 et Vito Volterra en 1926. Ce système d'équations est classiquement utilisé comme modèle pour la dynamique du lynx et du lièvre des neiges, pour laquelle de nombreuses données de terrain ont été collectées sur les populations des deux espèces par la Compagnie de la baie d'Hudson au XIXème siècle."
Il existe une équation pour la proie :
Et une autre pour le prédateur
Pour les détails et les relations entre ces équations, je renvoie à l'article.
"Dans le modèle utilisé, les prédateurs prospèrent lorsque les proies sont nombreuses, mais
finissent par épuiser leurs ressources et déclinent. Lorsque la population de prédateur a suffisamment diminué, les proies profitant du répit se reproduisent et leur population augmente de nouveau. Cette dynamique se poursuit en un cycle de croissance et déclin."(source : wikipedia)
Les modèles mathématiques décrivent donc des comportements réels d'animaux, vraissemblablement valables pour des sociétés d'êtres humains.
L'équation du Nénuphar
L'équation du Nénuphar est le titre d'un livre d'Albert Jacquard et ne constitue pas une équation mathématique en tant que telle. C'est une petite histoire qui mobilise un notion mathématique indispensable pour comprendre l'avenir de notre société.
Un nénuphar s'installe dans un grand-lac. Or cette plante a la propriété de produire chaque jour un autre nénuphar. Au bout de 30 jours, la totalité du lac est recouverte par les descendants de ce nénuphar et l'espèce entière meurt, privée d'espace et de nourriture.
La question clé est la suivante : Au bout de combien de temps les nénuphars couvrent-ils la moitié du lac ?
Hein ?
Combien à votre avis ?
Je me suis laissé avoir, comme beaucoup d'entre vous, par l'incompréhension de ce phénomène...
La bonne réponse est : au bout de 29 jours. Le trentième, le lac est entièrement recouvert. C'est la croissance exponentielle. Or la réponse la plus fréquente à laquelle on aboutit est : au bout de 15 jours.
Pourquoi cela ?
Parce que la notion de croissance exponentielle est peu ou mal enseignée, qu'on la propose surtout aux classes avancées, à tort, et qu'on suppose les petits esprits incapables d'appréhender une telle notion... Alors qu'il faudrait l'enseigner le plus tôt possible pour familiariser les jeunes à ces mécanismes.
Voici ce que nous dit A. Jacquard :
C'est ainsi qu'un système s'emballe et peut conduire à une catastrophe majeure pour une espèce donnée.
Ainsi les mathématiques proposent des notions et des outils que l'on peut s'approprier sans trop de difficulté - cela peut être ludique en plus - et qui nous offrent des réflexions vertigineuses.
Finissons-en avec ces remarques concernant la prétendue inaptitude de certains aux maths ou au raisonnement : c'est faux. C'est une question d'apprentissage, et l'apprentissage est fonction de la curiosité.
Soyez curieux !
Quand j'étais étudiant, je me considérais nul en math, et je ne voyais pas ce que cette discipline pouvait m'apporter dans la vie de tous les jours...
Il y en a beaucoup comme ça.
J'ai révisé mon jugement.
Les mathématiques consituent une langue qui permet de décrire le monde physique. Mal enseignée et incomprise, comment s'approprier ces notions ? Les idées que l'on peut comprendre par le monde des nombres sont vertigineuses. Qui ne s'est jamais amusé à essayer de penser les bords de l'Univers, de représenter l'infini, le nombre d'étoiles dans le ciel ? Inévitablement, ces exercices de pensée nous renvoient à nous-mêmes, à nos capacités, à nos représentations et à notre existence dans le monde. Les mathématiques, comme toute discipline, ne prennent de sens qu'au contact de ce que nous sommes et des autres connaissances que nous avons.
Voici deux exemples de systèmes mathématiques qui prouvent que les mathématiques s'appliquent à la compréhension de notre monde et des systèmes vivants :
Les équations différentielles
Voici une image représentant un modèle mathématique de comportement.
La figure a été dessinée suivant les équations de Lotka-Volterra :
"...Les équations de Lotka-Volterra, que l'on désigne aussi sous le terme de "modèle proie-prédateur", sont un couple d'équations différentielles [...], et sont couramment utilisées pour décrire la dynamique de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur et sa proie interagissent." (source : wikipedia)
Mais lisez plutôt la suite :
"Elles ont été proposées indépendamment par Alfred J. Lotka en 1925 et Vito Volterra en 1926. Ce système d'équations est classiquement utilisé comme modèle pour la dynamique du lynx et du lièvre des neiges, pour laquelle de nombreuses données de terrain ont été collectées sur les populations des deux espèces par la Compagnie de la baie d'Hudson au XIXème siècle."
Il existe une équation pour la proie :
Et une autre pour le prédateur
Pour les détails et les relations entre ces équations, je renvoie à l'article.
"Dans le modèle utilisé, les prédateurs prospèrent lorsque les proies sont nombreuses, mais
finissent par épuiser leurs ressources et déclinent. Lorsque la population de prédateur a suffisamment diminué, les proies profitant du répit se reproduisent et leur population augmente de nouveau. Cette dynamique se poursuit en un cycle de croissance et déclin."(source : wikipedia)
Les modèles mathématiques décrivent donc des comportements réels d'animaux, vraissemblablement valables pour des sociétés d'êtres humains.
L'équation du Nénuphar
L'équation du Nénuphar est le titre d'un livre d'Albert Jacquard et ne constitue pas une équation mathématique en tant que telle. C'est une petite histoire qui mobilise un notion mathématique indispensable pour comprendre l'avenir de notre société.
Un nénuphar s'installe dans un grand-lac. Or cette plante a la propriété de produire chaque jour un autre nénuphar. Au bout de 30 jours, la totalité du lac est recouverte par les descendants de ce nénuphar et l'espèce entière meurt, privée d'espace et de nourriture.
La question clé est la suivante : Au bout de combien de temps les nénuphars couvrent-ils la moitié du lac ?
Hein ?
Combien à votre avis ?
Je me suis laissé avoir, comme beaucoup d'entre vous, par l'incompréhension de ce phénomène...
La bonne réponse est : au bout de 29 jours. Le trentième, le lac est entièrement recouvert. C'est la croissance exponentielle. Or la réponse la plus fréquente à laquelle on aboutit est : au bout de 15 jours.
Pourquoi cela ?
Parce que la notion de croissance exponentielle est peu ou mal enseignée, qu'on la propose surtout aux classes avancées, à tort, et qu'on suppose les petits esprits incapables d'appréhender une telle notion... Alors qu'il faudrait l'enseigner le plus tôt possible pour familiariser les jeunes à ces mécanismes.
Voici ce que nous dit A. Jacquard :
"Pour rendre plus évidente l’erreur spontanée de raisonnement et faire un peu travailler les neurones, on peut alors poser la question : "Après combien de jours les nénuphars couvraient-ils à peine plus de 3 % de la surface du lac?" Il suffit de remonter le temps à partir du trentième jour, et de constater qu’ils en recouvraient 50 % le vingt-neuvième, 25 % le vingt-huitième, 12.5 % le vingt-septième, 6,25 % le vingt-sixième, 3,125 % le vingt-cinquième. Imaginons donc qu’au vingt-quatrième jour, un nénuphar anxieux de l’avenir attire l’attention de ses compagnons sur le danger qu’ils courent en proliférant ainsi; il est probable que ce nénuphar ne pourrait se faire entendre.
"Pourquoi nous inquiéter alors que nous avons ce comportement depuis plus de trois semaines et que 97 % de la surface du lac est encore disponible? Nous avons largement le temps de voir venir, continuons comme par le passé." ls auraient tort, puisque l’échéance est à moins d’une semaine"
C'est ainsi qu'un système s'emballe et peut conduire à une catastrophe majeure pour une espèce donnée.
Ainsi les mathématiques proposent des notions et des outils que l'on peut s'approprier sans trop de difficulté - cela peut être ludique en plus - et qui nous offrent des réflexions vertigineuses.
Finissons-en avec ces remarques concernant la prétendue inaptitude de certains aux maths ou au raisonnement : c'est faux. C'est une question d'apprentissage, et l'apprentissage est fonction de la curiosité.
Soyez curieux !